Question

【题目】问题提出

（1）如图1，已知三角形，请在边上确定一点，使得的值最小．

问题探究

（2）如图2，在等腰中，，点是边上一动点，分别过点，点作线段所在直线的垂线，垂足为点，若，求线段的取值范围，并求的最大值．

问题解决

（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点处和边的两个三等分点之间的某点建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为、、．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）的取值范围是，当取最小值时，取得最大值，最大值是5；（3）可以按照要求进行规划（点P选在点E处），三条输送轨道之和最小为千米．

【解析】

（1）根据垂线段最短即可得；

（2）如图2（见解析），先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，再根据等面积法可求出，由此即可得线段的取值范围；然后根据可得当取最小值时，取得最大值，将BP的最小值代入求解即可得；

（3）如图3（见解析），连接，先参照（2）的方法求出AP的取值范围，再根据得出，由此即可得出答案．

（1）如图1，过点作，垂足为点

由垂线段最短可知，此时的值最小；

（2）如图2，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点

是等腰三角形

由等面积法得：，即

解得

点在边上，

，即

则的取值范围是

当取最小值时，取得最大值

将代入得：

解得

则的最大值是5；

（3）如图3，连接

正方形边长为3，为边的三等分点

参考（2）可知，

即

，即

又

即

当取最大值时，取得最小值

将代入得：

解得

则的最小值为

综上，可以按照要求进行规划（点P选在点E处），三条输送轨道之和最小为千米．