Question

如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。
（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时？
（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当m=3时，y=－x²+6x令y=0，得－x²+6x=0，
∴
∴A(6,0)
当x=1时，y=5，
∴B（1,5）
又∵抛物线的对称轴为直线x=3，
又∵B、C关于对称轴对称，
∴BC=4
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图①）由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB

∵抛物线的对称轴为直线x=m，其中，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2(m－1)
∵B(1,2 m－1),P(1,m),
∴BP= m－1，
又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),
∴H(2m－1,0)
∴AH=1,CH=2m－1
∴
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
(Ⅰ)当m＞1时，BC=2(m－1)PM=m, BP= m－1.
(ⅰ)若点E在x轴上（如图②），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°
∴∠MEP=∠BPC
又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP
∴BC=PM，
∴2(m－1)=m
∴m=2
此时点E的坐标是（2,0）
(ⅱ)若点E在y轴上（如图③）过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ m－1=1，
∴m=2，
此时点E的坐标是（0,4）
(Ⅱ)当0＜m＜1时， BC=2(m－1)，PM=m    BP= m－1.
(ⅰ) 若点E在x轴上（如图④），易证△PBC≌△MEP，
∴BC=PM，2(m－1)=m
∴m=
∴此时点E的坐标是（，0）
(ⅱ)若点E在y轴上（如图⑤）过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ 1－m =1，∴m=0，（∵m>0,舍去）
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2,0）或（0,4）；          
当m时m=，
点E的坐标是

                       ①                              ②                                              ③

                      ④                                   ⑤