Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是矩形， 点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1）， ∴B（3，1）， 若直线经过点A（3，0）时，则b=； 若直线经过点B（3，1）时，则b=； 若直线经过点C（0，1）时，则b=1． ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1<b≤， 如图1，此时E（2b，0）， ∴S=OE·CO=×2b×1=b； ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即<b<，如图2， 此时E（3，），D（2b﹣2，1）， ∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE） =3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）·（﹣b）+×3（b﹣）] =b﹣b2， ∴； （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积． 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形， 根据轴对称知：∠MED=∠NED， 又∵∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0）， ∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2， ∴HN=HE﹣NE=2﹣a， 设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中， 由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12， ∴a=， ∴S四边形DNEM=NE·DH=． ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．