Question

24、在比较a^a+1和（a+1）^a的大小时（a是自然数），我们从分析a=1，a=2，a=3…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，再得出结论．
（1）①1²

＜

2¹，②2³

＜

3²，③3⁴

＞

4³，④4⁵

＞

5⁴，…
（2）从第（1）题结果归纳，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小关系是怎样的？
（3）请比较一下2008²⁰⁰⁹与2009²⁰⁰⁸的大小．

Answer 1

分析：（1）先根据有理数乘方的定义求出各数的值，再根据有理数大小的比较法则进行比较；
（2）根据（1）中有理数的大小总结出规律；
（3）根据（2）中的规律直接得出结论．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=48，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵，＞5⁴．
故答案为：＜，＜，＞，＞；（4分）
（2）由（1）可知，
当1≤a≤2时（或a=1或2时），a^a+1＜（a+1）^a，（6分）
当a＞2时，a^a+1＞（a+1）^a；（8分）
（3）∵a=2008＞2，
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．（10分）

点评：本题考查的是有理数的大小比较及有理数的乘方，解答此题的关键是根据有理数比较大小的法则比较出（1）中各数的大小，总结出规律．