题目内容

若正五边形ABCDE的边长为a，对角线长为b，试证： $数学公式$ - $数学公式$ =1．（提示：联想托勒密定理证b²=a²+ab，作出五边形的外接圆即可证得．）

解：作出五边形的外接圆，连接CE、BD、BE．
在四边形BCDE中，根据托勒密定理得，
BC•DE+CD•BE=CE•BD，
即a•a+a•b=b•b，
整理得，b²-a²=ab，
两边同时除以ab得， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
分析：作出五边形的外接圆，联想托勒密定理，先证b²=a²+ab，再变形为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
点评：此题考查了正五边形的性质，作出其外接圆及对角线，构造圆内接四边形，从而应用托勒密定理是解题的关键．

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若正五边形ABCDE的边长为a，对角线长为b，试证：

=1．（提示：联想托勒密定理证b²=a²+ab，作出五边形的外接圆即可证得．）

知识回顾：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S_△DEF：S_△ABC=

；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是

，S_{四边形EFGH}：S_{四边形ABCD}=

；
（3）实践探究：
如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是

；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S_{五边形FGHMN}：S_{五边形ABCDE}的值．

（4）拓展归纳：
在正n边形A₁A₂ …A_n中，若点B₁、B₂ …B_n分别是边A₁A₂、A₂A₃、…、A_nA₁的中点，则中点n边形B₁B₂ …B_n的面积与正n边形A₁A₂ …A_n的面积之比为Sn边形B1B2…Bn：Sn边形A1A2…An=

（2010•邢台二模）规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是

同底等高的两个三角形面积相等

同底等高的两个三角形面积相等

．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是

．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．

规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．

知识回顾：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S_△DEF：S_△ABC=______；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是______，S_{四边形EFGH}：S_{四边形ABCD}=______；
（3）实践探究：
如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是______；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S_{五边形FGHMN}：S_{五边形ABCDE}的值．

（4）拓展归纳：
在正n边形A₁A₂ …A_n中，若点B₁、B₂ …B_n分别是边A₁A₂、A₂A₃、…、A_nA₁的中点，则中点n边形B₁B₂ …B_n的面积与正n边形A₁A₂ …A_n的面积之比为