Question

观察下面各等式，找出规律，

1

2

+

3

1

=

2+3+2

1×2

；

2

3

+

4

2

=

8+6+2

2×3

；

3

4

+

5

3

=

18+9+2

3×4

；

4

5

+

6

4

=

32+12+2

4×5

…
第n个等式为

．

Answer 1

分析：分别找到等式左边的规律和等式右边的规律即可求解．形式复杂的分式要拆成与n有关的式子，才易寻得规律．

解答：解：根据题中所给的式子可知，等式的左边第一个加数的分子和第二个加数的分母相等，且第一个分数的分子，分母和第二个加数的分子是3个连续的整数；等式的右边分母的规律是两个连续整数的积n（n+1），分子的规律是2n²+3n+2．
所以第n个等式为

n

n+1

+

n+2

1

=

2n2+3n+2

n(n+1)

（n是正整数）．

点评：本题要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的难点在于寻找等式右边分子的规律，要注意拆成与n有关的形式去寻找．