Question

【题目】如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx-3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx-3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-m，ab=-3，那么（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=ACBC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，△ABC的面积有最小值6．

设A（a，），B（b，），则C（a，）．

将y=x+m代入y=，得x+m=，

整理，得x2+mx-3=0，

则a+b=-m，ab=-3，

∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．

∵S△ABC=ACBC

=（-）（a-b）

=（a-b）

=（a-b）2

=（m2+12）

=m2+6，

∴当m=0时，△ABC的面积有最小6．

故答案为6．