题目内容
【题目】综合与实践：折纸中的数学
问题背景
在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．
操作发现
(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？
实践探究
(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？
(3)再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．
【答案】（1）矩形ABCD的长、宽之比为
；（2）四边形EFGB′是平行四边形，理由详见解析；（3）△BB′G为直角三角形，理由详见解析．
【解析】
（1）矩形
的长、宽之比应是．设
，根据等边三角形的性质可得出
，根据矩形的性质可得出
，
，再根据特殊角的三角函数值即可得出
，
，结合边与边之间的关系即可得出
；
（2）四边形
是平行四边形．根据矩形的性质可得出
，从而得出相等的内错角“
，
，
”，再由翻折的性质可得出
，
，由此即可得出
，从而找出
，由两组对边互相平行即可证出四边形是平行四边形；
（3）△
为直角三角形．连接
交
于点
，根据平行线的性质可得出
，由翻折的性质可得出
，从而可得出
，再由等腰三角形的性质可得出
，根据平行线的性质即可得出
，由此即可证出△为直角三角形．
解：（1）矩形的长、宽之比应是．
证明：设，
等边三角形，
，
四边形为矩形，
，
．
在
中，
，，，
，
，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形．
证明：四边形为矩形，
，
，，
．
由翻折的特性可知：，，
，
，
又
，
，
，
又
，
四边形是平行四边形．
（3）△为直角三角形．
证明：连接交于点，如图所示．
，
，
，
，
．
，
△
为等腰三角形，
，
．
，
，
△为直角三角形．
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