Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中点，OP⊥AB交AC于点P．
（1）证明线段AO、OB、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；
（2）过线段OB（包括端点）上任一点M，作MN⊥AB交AC于点N．如果要使线段AM、MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的性质求得个线段的长即可；
（2）根据相似三角形的性质得比例式，列不等式即可求得．

解答：解：（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，
∴∠AOP=∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC．∴

OP

AO

=

BC

AB

∵AB=4，BC=3，O是AB的中点．
∴

OP

2

=

3

4

∴OP=

3

2

∵OP=

3

2

＜AO=OB=2，且

3

2

+2＞2．
∴OP+AB＞OB
即AO，BO，OP中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度．
∵∠B=90°，OP⊥AB
∴OP∥BC
∵O是AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线．
∴OP=

1

2

BC
∵BC=3
∴OP=

3

2

；

（2）当M在OB上时，设AM=x（2≤x≤4）
则MB=4-x，
∵△AMN∽△ABC
∴

MN

AM

=

BC

AB

∴MN=

BC•AM

AB

=

3

4

x
又MN＜AM，MB＜AM
∴MN+MB＞AM，
∴

3

4

x+（4-x）＞x
∴x＜

16

5

∴AM的取值范围为2≤AM＜

16

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边关系，此题难度较大，解题要细心．