Question

（2012•无锡一模）（1）阅读理解
先观察和计算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空：4+9

＞

2

4×9

，
4+4

=

2

4×4

，2+3

＞

2

2×3

．请猜想：当a＞0，b＞0，则a+b

≥

2

ab

．
如∵(

6

-

5

)2＞0，展开(

6

)2+(

5

)2-2

6×5

＞0，∴6+5＞2

6×5

．
请你给出猜想的一个相仿的说明过程．
（2）知识应用
①如图⊙O中，⊙O的半径为5，点P为⊙O内一个定点，OP=2，过点P作两条互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足为P、N，求OM²+ON²的值．
②在上述基础上，连接AB、BC、CD、DA，利用①中的结论，探求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出式子的结果，再比较即可；根据完全平方公式大于等于0，展开即可得出答案；
（2）①根据矩形的判定得出矩形MPNO，根据矩形性质得出MN=OP=2，根据勾股定理求出即可；②根据垂径定理求出AC=2CM，BD=2BN，根据勾股定理求出BN²+CM²的值，最后根据以上结论即可求出S≤46，求出答案即可．

解答：（1）解：4+9＞2

4

，4+4=2

4+4

，2+3＞2

2×3

，
猜想a+b≥2

ab

，
理由是：∵（

a

-

b

）²≥0，
∴化简得a+b≥2

ab

，
故答案为：＞，=，＞，≥．

（2）①解：连接OP，MN，
∵OM⊥BD，ON⊥AC，AC⊥BD，
∴∠PNO=∠NPM=∠PMO=90°，
∴四边形MPNO是矩形，
∴OP=MN，
∴OM²+ON²=MN²=OP²=4．

②解：连接OC，
∵由勾股定理得：MC²=OC²-OM²=25-OM²，同理BN²=25-ON²，
∴BN²+CM²=50-（OM²+ON²）=50-4=46，
∵S=

1

2

AC×BD=

1

2

×2BN×2CM=2BN×CM≤BN²+CM²，
∴S≤46，
即四边形ABCD的面积的最大值是46．

点评：本题考查了矩形性质和判定、勾股定理、根式的计算、完全平方公式等知识点，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目综合性比较强，难度偏大．