题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= $数学公式$ ，将△ABC绕点A旋转后，点C落在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于________．

$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：作出图形，设BC=4a，AB=5a，求出AC，再根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AC′，BC=C′D，然后分①逆时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，根据等边对等角求出∠ADB=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；②顺时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜边列式计算即可得解．
解答：

解：∵∠C=90°，sinA= $\text{[math]}$ ，
∴设BC=4a，AB=5a，
则AC= $\text{[math]}$ =3a，
根据旋转的性质，AB=AD=5a，AC=AC′=3a，BC=C′D=4a，
①如图1，逆时针旋转时，BC′=AB+AC′=5a+3a=8a，
根据勾股定理，BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ a，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴sin∠ADB=sin∠ABD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
②如图2，顺时针旋转时，BC′=AB-AC′=5-3=2，
根据勾股定理，BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ a，
过点A作AE⊥BD于E，则BE= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a，
在Rt△ABE中，AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ a，
∴sin∠ADB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
综上所述，sin∠ADB的值为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边对等角的性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于要分情况讨论并找出∠ADB所在的直角三角形，作出图形更形象直观．