Question

（2012•莱芜）如图，在菱形ABCD中，AB=2

3

，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S_△HDF=

3

S_△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，根据切线性质得出DE⊥AB，根据菱形性质求出BD平分∠ABC，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据切线判定推出即可；
（2）根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形ADB，求出DE值，即可得出圆的半径长，得出等边三角形DCB和等边三角形DHF，求出△DFH的高FN，求出△DFH的面积和扇形FDH的面积，相减即可得出答案；
（3）根据△FDH的面积和已知求出△MDF边DF上的高MZ，求出∠MDF，同理得出另一点M′也符合，且圆心角是150°，根据弧长公式求出即可．

解答：（1）证明：过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，
∵⊙D切AB于E，
∴DE⊥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DQ（角平分线性质），
∵DQ⊥BC，
∴⊙D与边BC也相切；

（2）解：过F作FN⊥DH于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2

3

，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DBA=60°，DC∥AB，AD=BD=AB=2

3

∵DE⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
由勾股定理得：DE=3=DH=DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=60°，DC=BC，
∴△DCB是等边三角形，
∴∠CDB=60°，
∵DF=DH，
∴△DFH是等边三角形，
∵FN⊥DH，
∴DN=NH=

3

2

，
由勾股定理得：FN=

3 3

2

，
∴S_阴影=S_扇形FDH-S_△FDH=

60π×32

360

-

1

2

×3×

3 3

2

=

3

2

π-

9 3

4

；

（3）解：过M作MZ⊥DF于Z，
∵由（2）知：S_△HDF=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，DF=3，
又∵S_△HDF=

3

S_△DFM，
∴

9 3

4

=

3

×

1

2

×3×MZ，
∴MZ=

3

2

，
在Rt△DMZ中，sin∠MDZ=

MZ

DM

=

1

2

，
∴∠MDZ=30°，
同理还有另一点M′也符合，此时MM′∥CD，∠M′DC=180°-30°=150°，
∴弧MF的长是

30π×3

180

=

1

2

π；
弧FM′的长是

150π×3

180

=

5

2

π．
答：动点M经过的弧长是

1

2

π或

5

2

π．

点评：本题考查的知识点是三角形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性质，扇形的面积，锐角三角函数的定义，弧长公式等，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．