Question

已知抛物线y=x²﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）²．

（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；

（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+，

∵（k﹣）²≥0，

∴△＞0，

∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，

∴x₁•x₂=，

令0=（k+1）x+（k+1）²，

解得：x=﹣（k+1），

即x₃=﹣（k+1），

∴x₁•x₂•x₃=﹣（k+1）•=﹣（k+）²+，

∴x₁•x₂•x₃的最大值为：；

（3）解：∵CA•GE=CG•AB，

∴，

∵∠ACG=∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠AOD=∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴，

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，

∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，

∴OA•OB=OD，

∴，

∴OB²=OE，

∴OB=k+1，

∴点B（k+1，0），

将点B代入抛物线y=x²﹣（k+2）x+得：（k+1）²﹣（k+2）（k+1）﹣=0，

解得：k=2，

∴抛物线的解析式为：y=x²﹣4x+3．