Question

已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

 

Answer 1

解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，

∴c =-3．

将点A(3，0)，B(2，-3)代入得

解得：a=1，b=-2．

∴．

配方得：，所以对称轴为x=1．

(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．

∵点B，点C的纵坐标相等，

∴BC∥OA．

过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．

要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．

即QE=AD=1．

又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，

∴2-0.2t=1．

解得t=5．

即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．

②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．

∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，

∴BF=CF=OG=1．

又∵BP=OQ，

∴PF=QG．

又∵∠PMF=∠QMG，

∴△MFP≌△MGQ．

∴MF=MG．

∴点M为FG的中点    

∴S=，

=．

由=．

．

∴S=．

又BC=2，OA=3，

∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．

∴0<t≤20．

∴当t=20秒时，面积S有最小值3．