Question

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）连接OA，求证：OA⊥BC；
（3）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得出=，∠ADB=∠ADF，根据一个角相等，夹这个角的两边对应成比例从而得出△BDE∽△FDA；
（2）连接OA，OB，OC，由AB=AC，得出∠OAB=∠OAC，又OB=OC，从而得出AO⊥BC即可；
（3）直线AF与⊙O相切．由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，可得出BE∥FA，根据AO⊥BE，可得出AO⊥FA，即直线FA与⊙O相切．
解答：证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵，∴…（2分）
又∵∠BDE=∠FDA
∴△BDE∽△FDA …（5分）
（2）连接OA，并连接OB和OC，如下图所示，

∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC．…（6分）
又∵OB=OC
∴AO⊥BC…（7分）

（3）直线AF与⊙O相切．  …（8分）
由△BDE∽△FDA，那么∠EBD=∠AFD．
∴BE∥FA…（9分）
由AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线FA与⊙O相切．…（11分）
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及切线的判定，是中考压轴题，但难度不大．