Question

某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；
（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O₁和O₂，且O₁到AB、BC、AD的距离与O₂到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的长120-2x，由矩形的面积公式得出答案；
（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行．

解答：解：（1）∵AB=x，∴BC=120-2x，
∴S=x（120-2x）=-2x²+120x；
当x=

120

2×2

=30时，S有最大值为

0-1202

4×(-2)

=1800；

（2）设圆的半径为r米，路面宽为a米，
根据题意得：

4r+2a=60 2r+2a=30

解得：

r=15 a=0

∵路面宽至少要留够0.5米宽，
∴这个设计不可行．

点评：本题考查了二次函数的应用，题目中还涉及到了二元一次方程组及方案设计的相关知识，是一道难度适中的综合题．