Question

若关于x的方程k（x²-4）+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵关于x的方程k（x²-4）+ax-1=0，
∴kx²+ax-4k-1=0，
①当k=0时，方程为ax-4k-1=0，
∵方程对一切实数k都有实数根，
∴a≠0；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，
∵方程对一切实数k都有实数根，
∴方程的判别式是非负数，
即△=a²+4k（4k+1）=a²+16k²+4k，
由一元二次方程有根的条件可得：a²+4k（4k+1）≥0时方程有实数解，
（1）当k＞0时，上式必定成立，此时a可取任意值；
（2）当k＜0时，上式a²+4k（4k+1）≥0中，a²≥0，4k＜0，考虑4k+1的正负性：
A：若4k+1＞0，即：-＜k＜0，
∴0＜4k（4k+1）＜1，
此时a可取任意值；
B：若4k+1＜0，
即：k＜-，
∴4k（4k+1）＞0，
此时a可取任意值；
C：若4k+1=0，
即：k=-，
∴4k（4k+1）=1，
此时a可取任意值；
综上所述：只要a的值不为0即可．
分析：首先把方程整理为kx²+ax-4k-1=0，然后讨论：
①当k=0时，方程为ax-4k-1=0，由于方程对一切实数k都有实数根，所以根据一元一次方程的定义即可求出a的取值范围；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，由于方程对一切实数k都有实数根，所以得到方程的判别式是非负数，由此即可求出a的取值范围．
点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的根的关系，也利用了分类讨论的思想，题目对于学生分析问题、解决问题的能力要求比较高，平时应该加强这方面的训练．