Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m-4，0）和B（m，0），与直线y=-x+p相交于点A和点C（2m-4，m-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直线y=-x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a即可；
（2）AC所在直线的解析式为：y=-x-1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y=-x+3或y=-x-5，求出方程组的解，即可得到P₁（3，0），P₂（-2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标；
（3）设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），求出MT=-t²+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出MS=-（t-）²+，即可得到答案．
解答：解：（1）∵点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）在直线y=-x+p上
∴，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），C（2，-3），
设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），
∵C（2，-3），代入得：-3=a（2-3）（2+1），
∴a=1
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3．
答：抛物线解析式为y=x²-2x-3．

（2）解：A（-1，0），C（2，-3），由勾股定理得：AC==3，
AC所在直线的解析式为：y=-x-1，
∠BAC=45°，
∵平行四边形ACQP的面积为12，
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，
∴DN=4，
∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，
∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=-x+3或②y=-x-5，
∴由①得：，
解得：或，
由②得：，方程组无解，
即P₁（3，0），P₂（-2，5），
∵ACQP是平行四边形，A（-1，0），C（2，-3），
∴当P（3，0）时，当以AC为边时，Q₁（6，-3），Q₂（0，3），
当P（-2，5）时，当以AC为边时，Q₃（1，2），Q₄（-5，8），
以AC为对角线时，P到AC的距离是12÷2÷（×3）=2，
过C作CR⊥AC交x轴于R，则AC=CR=3，由勾股定理得：AR=6，
则R的坐标是（5，0）过R作AC的平行线交抛物线于两点，
则此直线的解析式是y=-（x-6）-1=-x+5，
解方程组得：，，
即在AC的两旁各有一条直线，但当在AC下方时，直线和抛物线不能相交，
此时P坐标是（，），Q坐标是（，）或P的坐标是（，）Q的坐标是（，-）
答：点P，Q的坐标是P₁（3，0），Q₁（6，-3）或（0，3）
或P₂（-2，5），Q₂（1，2）或（-5，8），或P₃（，），Q₃（，）或P₄（，），Q₄（，-）．


（3）解：设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），
过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），
MT=（-t+3）-（t²-2t-3）=-t²+t+6，
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，
MS=MT=（-t²+t+6）=-（t-）²+，
则当t=时，M（，-），△PQM中PQ边上高的最大值为，
∵P₁（3，0），Q₁（6，-3）或P₂（-2，5），Q₂（1，2）．
∴当P（3，0），Q（6，-3）时，PQ==3．
当P（-2，5），Q（1，2）时，PQ==3，
∴S_△PQM=×PQ×=．
答：△PQM的最大面积是，点M的坐标是（，-）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．