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x
2
（x
2
-x+1）-x（x
3
-x
2
+x-1）．
试题答案
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分析：
原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
解答：
解：原式=x
4
-x
3
+x
2
-x
4
+x
3
-x
2
+x=x．
点评：
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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23、完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？
方程
x
1
x
2
x
1
+x
2
x
1
x
2
x
2
-2x=0
0
2
2
0
x
2
+3x-4=0
-4
1
-3
-4
x
2
-5x+6=0
2
3
5
6
（1）请用文字语言概括你的发现．
若二次项系数为1，常用以下关系：x
1
，x
2
是方程x
2
+px+q=0的两根时，x
1
+x
2
=-p，x
1
x
2
=q
（2）一般的，对于关于x的方程x
2
+px+q=0（p、q为常数，p
2
-4q≥0）的两根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=
-p
，x
1
x
2
=
q
（3）运用以上发现解决下列问题：已知x
1
，x
2
是方程x
2
-x-3=0的两根，求代数式（1+x
1
）（1+x
2
）的值．
阅读材料：
在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x
1
，0），B（x
2
，0）的距离记作|AB|=|x
1
-x
2
|，如果A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间距离．
如图，过A，B分别向x轴，y轴作垂线AM
1
、AN
1
和BM
2
、BN
2
，垂足分别是M
1
（x
1
，0），N
1
（0，y
1
），M
2
（x
2
，0），N
2
（0，y
2
），直线AN
1
交BM
2
于Q点，在Rt△ABQ中，|AB|
2
=|AQ|
2
+|QB|
2
．
∵|AQ|=|M
1
M
2
|=|x
2
-x
1
|，|QB|=|N
1
N
2
|=|y
2
-y
1
|，∴
|AB
|
2
=|
x
2
-
x
1
|
2
+|
y
2
-
y
1
|
2
．
由此得任意两点[A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）]间距离公式为：
|AB|=
(
x
2
-
x
1
)
2
+
(
y
2
-
y
1
)
2
．
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为
5
5
；
（2）平面直角坐标系中的两点A（1，3）、B（4，1），P为x轴上任一点，当PA+PB最小时，直接写出点P的坐标为
（
13
4
，0）
（
13
4
，0）
，PA+PB的最小值为
5
5
；
（3）应用平面内两点间距离公式，求代数式
x
2
+
(y-2)
2
+
(x-3)
2
+
(y-1)
2
的最小值．
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）x
2
-2x=0（2）x
2
+3x-4=0（3）x
2
-5x+6=0
方 程
x
1
x
2
x
1
+x
2
x
1
．x
2
（1）
0
0
2
2
2
2
0
0
（2）
-4
-4
1
1
-3
-3
-4
-4
（3）
2
2
3
3
5
5
6
6
请同学们仔细观察方程的解，你会发现方程的解与方程中未知数的系数和常数项之间有一定的关系．
一般的，对于关于x的方程x
2
+px+q=0（p，q为常数，p
2
-4q≥0）的两根为x
1
、x
2
则x
1
+x
2
=
-p
-p
，x
1
．x
2
=
q
q
．
（2）运用以上发现，解决下面的问题：
①已知一元二次方程x
2
-2x-7=0的两个根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
的值为
B
B
A．-2 B．2 C．-7 D．7
②已知x
1
，x
2
是方程x
2
-x-3=0的两根，利用上述结论，不解方程，求x
1
2
+x
2
2
的值．
（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式
-
x
4
-
x
2
+3
-
x
2
+1
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x
2
+1，可设-x
4
-x
2
+3=（-x
2
+1）（x
2
+a）+b
则-x
4
-x
2
+3=（-x
2
+1）（x
2
+a）+b=-x
4
-ax
2
+x
2
+a+b=-x
4
-（a-1）x
2
+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴
a-1=1
a+b=3
，∴a=2，b=1
∴
-
x
4
-
x
2
+3
-
x
2
+1
=
(-
x
2
+1)(
x
2
+2)+1
-
x
2
+1
=
(-
x
2
+1)(
x
2
+2)
-
x
2
+1
+
1
-
x
2
+1
=x
2
+2+
1
-
x
2
+1
这样，分式
-
x
4
-
x
2
+3
-
x
2
+1
被拆分成了一个整式x
2
+2与一个分式
1
-
x
2
+1
的和．
解答：
（1）将分式
-
x
4
-6
x
2
+8
-
x
2
+1
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明
-
x
4
-6
x
2
+8
-
x
2
+1
的最小值为8．
认真阅读以下材料，并解答问题：
（1）配方：利用完全平方公式，把二次三项式写成（a-k）
2
+h的形式．
例：x
2
-2x=x
2
-2•1•x+1
2
-1
2
=（x-1）
2
-1
（2）利用配方法解方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）
例：解方程x
2
-2x-3=0
x
2
-2x=3
x
2
-2•1•x+1
2
=3+1
2
（x-1）
2
=4
x-1=±2
∴x
1
=3，x
2
=-1
问题：（1）把多项式直接写成（a-k）
2
+h的形式：x
2
-6x-3=
（x-3）
2
-12
（x-3）
2
-12
．
（2）用配方法解方程：x
2
+6x+8=0．
关 闭
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数学
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物理
化学
生物
地理
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化学
生物
地理
小学
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