Question

已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
小题1:四边形EPGQ             （填“是”或者“不是”）平行四边形；
小题2:若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；
小题3:连结PQ，求的值．

Answer 1

小题1:是
小题2:
小题3:

解：（1）是

（2）∵EPGQ是矩形．
∴∠CED=90°
∠AED+∠CEB =90°．
∵BA⊥OM， 
∠BAO=90°
∴∠AED+∠EDA =90°
∴∠EDA=∠CEB．
∵BA⊥OM，BC⊥ON, ∠AOC =90°
∴OABC是矩形.
∴BC="OA," AB=OC
∠ABC=∠BAO=90°
∴△AED∽△BCE．∴.
设OA=x，AB=y，
则
得．又 ，
即．
∴，
解得．
∴OA的值为
（2）连结GE交PQ于，过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．

∵四边形PGQE是平行四边形
∴．
∵BC∥GE
∴△PCF∽△PEG，
,
∴
,
∴ ．
在Rt△中，，
即 ，
又 ，
∴ ， 
∴ ．说明：以上各题的其它解法只要正确.