Question

（2012•泰州模拟）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，0）、B（4，3）两点，且当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若D是直线l上的一个动点，求使△DAB的周长最小时点D的坐标；
（3）以这条抛物线上的任意一点P为圆心，PO的长为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，所以b=0，假设出解析式为y=ax²+c，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用轴对称得出D点位置，进而求出直线A′B的解析式，即可求出D点坐标；
（3）首先求出圆的半径PO，进而得出点P到直线l的距离，进而得出⊙P与直线l的位置关系即可．

解答：解：（1）因为当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，所以b=0．
把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入y=ax²+c，得：

4a+c=0 16a+c=3

，
解得

a= 1 4 c=-1

，
所以这条抛物线的解析式为y=

1

4

x2-1．

（2）作点A（-2，0）关于直线l的对称点A′（-2，-4），
如图，连接A′B交直线l于点D，此时△DAB的周长最小．
设直线A′B的解析式为y=kx+m，把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入y=kx+m，得：

-2k+m=-4 4k+m=3

，
解得

k= 7 6 m=- 5 3

，
所以直线A′B的解析式为y=

7

6

x-

5

3

，
利用直线A′B于l相交，则-2=

7

6

x-

5

3

，
解得：x=-

2

7

，
故点D的坐标(-

2

7

，-2)．

（3）⊙P与直线l相切．
设抛物线y=

1

4

x2-1上任意一点P的坐标为(p，

1

4

p2-1)，则
PO=

p2+( 1 4 p2-1)2

=

1 16 p4+ 1 2 p2+1

=

( 1 4 p2+1)2

=

1

4

p2+1，
点P到直线l的距离=

1

4

p2-1-(-2)=

1

4

p2+1，
所以点P到直线l的距离=⊙P的半径PO，
所以⊙P与直线l相切．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及切线的判定、待定系数法求一次、二次函数解析式等知识，利用轴对称得出D点位置是解题关键．