Question

小明想利用自家的一块圆形铁皮做一个圆锥形的漏斗，但由于这块铁皮长时间浸泡在水中，其中有一部分已经不能用了（图中阴影部分），小明测量后发现，这块铁皮的半径为12厘米，阴影部分弓形的高为6厘米．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）小明剪掉扇形OAB后把剩下部分焊接成成一个圆锥（接缝处的损耗不计），请求出这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

分析：（1）图中阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积；
（2）根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径．

解答：解：（1）作OC⊥AB于C，
∵OA=OD=12，CD=6，
∴在Rt△OAC中，AC=

122-62

=6

3

，
∴AB=2AC=2×6

3

=12

3

，
∵tan∠AOC=

AC

OC

=

6 3

6

=

3

，
∴∠AOC=60°，∠AOB=120°，
∴S_阴影部分=S_扇形OAB-S_△OAB，
=

120π×122

360

-

1

2

×12

3

×6，
=（48π-36

3

）cm²；

（2）∵剪掉扇形OAB后把剩下部分的弧长为：

nπr

180

=

240π×12

180

=16π，
∴围成的圆锥的底面半径为：2πr=16π，
∴圆锥底面半径为8cm．

点评：本题考查了扇形与圆锥的关系以及弓形的面积计算方法，解决本题的关键是作出辅助线构造直角三角形，求出相关的数据．