Question

如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且，点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形的面积，求的值．

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

                                            

Answer 1

（1）因为抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，

由点D(2，1．5)在抛物线上，所以，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5，

又，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，从而c＝1．5，所以．

（2）由（1）知，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB，

令kx－2＝1．5，得l与CD的交点F()，

令kx－2＝0，得l与x轴的交点E()，

根据S_{四边形OEFC}＝S_{四边形EBDF}得：OE＋CF＝DF＋BE，

即

（3）由（1）知

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为

假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM₁、NN_1，垂足分别为M₁、N₁，因为∠MPO＝∠NPO，所以Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁，

所以，………………(1)

不妨设M(x_M，y_M)在点N(x_N，y_N)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，

则（1）式变为，又y_M ＝k x_M－2， y_N＝k x_N－2，

所以（t＋2）(x_M ＋x_N)＝2k x_M x_N，……(2)

把y＝kx－2(k≠0)代入中，整理得x²＋2kx－4＝0，

所以x_M ＋x_N＝－2k， x_M x_N＝－4，代入（2）得t＝2，符合条件，

故在y轴上存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称．