Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=

1

2

 S_△ABC；④BE+CF=EF．上述结论始终正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：连接AP根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S_APE=S_△CPF，求出S_{四边形AEPF}=S_△APC=

1

2

S_△ABC，求出BE+CF=AE+AF＞EF，即可得出答案．

解答：解：
连接AP，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中

∠EAP=∠C=45° AP=CP ∠APE=∠CPF

∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF
∴S_APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=

1

2

S_△ABC，∴③正确；
∵AB=AC，AE=CF，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AE+AF＞EF，∴④错误；
即正确的有3个，
故选C．

点评：本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．