题目内容
已知：如图，⊙O的直径AB等于4，以OA为直径作⊙O1，BD切⊙O1于C，交⊙O于D，连接AC、OC．（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的长．
分析：（1）求tan∠CAO的值，即求
的值，易证得△BOC∽△BCA，则
=
；关键是求出BC的长，由切割线定理得BC2=BO•BA，由此可求得BC的长，即可得解．
（2）求BD的长，可过O作弦BD的垂线，设垂足为M；连接O1C，则△BOM∽△BO1C，可得BO：BO1=BM：BC，由此可求得BM的长，进而可求出BD的长．
| OC |
| AC |
| OC |
| AC |
| BC |
| AB |
（2）求BD的长，可过O作弦BD的垂线，设垂足为M；连接O1C，则△BOM∽△BO1C，可得BO：BO1=BM：BC，由此可求得BM的长，进而可求出BD的长．
解答：解：（1）∵BC切⊙O1于C，
∴BC2=BO•BA=2•4=8，即BC=2
；
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴
=
=
=
；
Rt△AOC中，tan∠CAO=
=
．
（2）连接O1C，过O作OM⊥BD于M，则BD=2BM；
∵BD是⊙O1的切线，
∴O1C⊥BD；
∴OM∥O1C；
∴
=
，
∴BM=
=
；
∴BD=2BM=
．
∴BC2=BO•BA=2•4=8，即BC=2
| 2 |
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴
| OC |
| AC |
| BC |
| AB |
2
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
Rt△AOC中，tan∠CAO=
| OC |
| AC |
| ||
| 2 |
（2）连接O1C，过O作OM⊥BD于M，则BD=2BM；
∵BD是⊙O1的切线，
∴O1C⊥BD；
∴OM∥O1C；
∴
| BO |
| BO1 |
| BM |
| BC |
∴BM=
| BO•BC |
| BO1 |
4
| ||
| 3 |
∴BD=2BM=
8
| ||
| 3 |
点评：综合考查圆周角定理、切线的性质、切割线定理以及相似三角形的判定和性质．
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