题目内容

已知：如图，直y=2x+b交x轴于点B，交y轴于点C，点A为x轴正半轴上一点，AO=CO，△ABC的面积为12．
（1）求b的值；
（2）若点P是线段AB中垂线上的点，是否存在这样的点P，使△PBC成为直角三角形？若存在，试直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点Q为线段AB上一个动点（点Q与点A、B不重合），QE∥AC，交BC于点E，以QE为边，在点B的异侧作正方形QEFG．设AQ=m，△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S，试求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

解：（1）由题意得：B（- $\text{[math]}$ ，0），C（0，b）
∴OB= $\text{[math]}$ ，OC=b
∵AO=BO
∴A（b，0）．∴OA=b，AB=b+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b．
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•OC=12
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ b•b=12

解得：b₁=4，b₂=-4（舍去）
∴b=4

（2）AB的中垂线是x=1，
当A是直角△BCP的直角顶点时，设BP的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x+c，
把B的坐标代入得：1+c=0，解得：c=-1，
则BP的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x-1，当x=1时，y=- $\text{[math]}$ ，
则P的坐标是（1，- $\text{[math]}$ ）；
同理，当C是直角顶点时求得P的坐标是（1， $\text{[math]}$ ）；
当P是直角顶点时，BC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
BC的中点的坐标是（-1，2），
设P的坐标是（1，x），则（x-2）²+（1+1）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
解得：x=1或3，
则P的坐标是（1，1）或（1，3）．
总之，P的坐标是：P₁（1，1），P₂（1，3），P₄（1， $\text{[math]}$ ），P₃（1，- $\text{[math]}$ ）．

（3）如图，设正方形QEFG与AC相交于点M．
∵B（-2，0），A（4，0）
∴AB=6
在Rt△AOC中AC= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$
∵EQ∥AC
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴EQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°
∴△QMA为等腰直角三角形
∴QM= $\text{[math]}$ AQ= $\text{[math]}$ m
当QM=QG时，正方形QEFG的边FG恰好与AC共线．
此时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m，
解得：m= $\text{[math]}$
当0＜m≤ $\text{[math]}$ 时，S=QE•QM= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ m=- $\text{[math]}$ m²+4m．
当 $\text{[math]}$ ＜m＜6时，S=QE²=[ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （6-m）】²= $\text{[math]}$ （m-6）²．
∴S与m之间的函数关系式为S= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据△ABC的面积是12，即可得到一个关于b的方程，解方程求得b的值；
（2）线段AB中垂线的解析式是y=1，然后分A、B、P是直角顶点三种情况进行讨论即可求得；
（3）在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的长度，然后根据平行线分线段成比例定理利用m表示出EQ的长度，然后分0＜m≤ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ＜m＜6两种情况求得．
点评：本题考查了一次函数与直角三角形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，正确分类讨论是关键．