题目内容
如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，动点P在梯形边AB、BC上，当梯形某两个顶点和动点P能构成直角三角形时，点P到AD之距离记为d，则d为______．
①点P在AB上时，△APD是直角三角形，点A是直角顶点，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
当点P与点A重合时，△PDC即△ADC是直角三角形，点D是直角顶点．此时d=ap=0，
综上所述，0≤d≤2．
②如图1，点P在BC上时，△APD是直角三角形，
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，
则四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴
=
，
设PE=x，则PF=7-x，
∴
=
，
∴d2=-x2+7x，
∵AE∥CD，
∴
=
，
即
=
，
∴x=7d-14，
联立
，
消掉x得，50d2-245d+294=0，
解得d1=
，d2=
；
③如图2，点P在BC上时，△CDP是直角三角形，
过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，
则CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=
=
=5
，
sin∠C=
=
，
即
=
，
解得DP=
，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=
×
=
；
④点P与点C重合时，点D是直角顶点，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
综上所述，d为0＜d≤2，d=
，d=
，d=
，d=3．
故答案为：0≤d≤2，d=
，d=
，d=
，d=3．
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
当点P与点A重合时，△PDC即△ADC是直角三角形，点D是直角顶点．此时d=ap=0，
综上所述，0≤d≤2．
②如图1，点P在BC上时，△APD是直角三角形，
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，
则四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴
| AE |
| PF |
| PE |
| DF |
设PE=x，则PF=7-x，
∴
| d |
| 7-x |
| x |
| d |
∴d2=-x2+7x，
∵AE∥CD，
∴
| EB |
| CF |
| PE |
| PF |
即
| d-2 |
| 3-d |
| x |
| 7-x |
∴x=7d-14，
联立
|
消掉x得，50d2-245d+294=0，
解得d1=
| 14 |
| 5 |
| 21 |
| 10 |
③如图2，点P在BC上时，△CDP是直角三角形，
过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，
则CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=
| BE2+CE2 |
| 72+12 |
| 2 |
sin∠C=
| DP |
| CD |
| BE |
| BC |
即
| DP |
| 3 |
| 7 | ||
5
|
解得DP=
21
| ||
| 10 |
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=
21
| ||
| 10 |
| 7 | ||
5
|
| 147 |
| 50 |
④点P与点C重合时，点D是直角顶点，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
综上所述，d为0＜d≤2，d=
| 14 |
| 5 |
| 21 |
| 10 |
| 147 |
| 50 |
故答案为：0≤d≤2，d=
| 14 |
| 5 |
| 21 |
| 10 |
| 147 |
| 50 |
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