Question

如图，已知⊙O中，弦BC＝8，A是BAC的中点，弦AD与BC交于点E，

AE＝5，ED＝，M为弧BDC上的动点，（不与B、C重合），AM交BC于N.

（1）求证：AB²=AE·AD；

（2）当M在弧BDC上运动时，问AN·AM、AN·NM中有没有值保持不变的？有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；

（3）若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于G，当AG＝8时，求sin∠AFB的值．

Answer 1

如图（1），证明：（1）连BD

∵   ∴∠ABC=∠ADB

又∵∠BAE=∠DAB   ∴△ABE∽△ADB

∴    ∴

（2）连结BM，图（2）同（1）可证△ABM∽△ANB，

则  ∴

∴=

即为定值． 设BN=x，则CN=（8-x）

∵

故当BN=x=4时， 有最大值为16．

（3）作直径AH交BC于K，连结GH，如图（3），

∵A是弧BAC的中点  ∴AH⊥BC，且

∴

∴AK=8又由得：

∴AH=10    又∵∠AGH=∠BKF=90°，

且∠GAH=∠KAF，∴∠F=∠H

∴sinsin