题目内容
（2012•柳州）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为
（即cosC=
），则AC边上的中线长是
a或
a
a或
a．
2
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| 5 |
2
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| 5 |
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| 10 |
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分析：分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．
解答：
解：分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
，
∴CD=
a，AD=
a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
a，
∴BC=BD+CD=
a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=
a2+
a2-2×
a×
a×
=
a2，
∴BE=
a；
②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
，
∴CD=
a，AD=
a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
a，
∴BC=CD-BD=
a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=
a2+
a2-2×
a×
a×
=
a2，
∴BE=
a．
综上可知AC边上的中线长是
a或
a．
故答案为
a或
a．
解：分两种情况：①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
2
| ||
| 5 |
∴CD=
2
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| 5 |
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| 5 |
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
| ||
| 5 |
∴BC=BD+CD=
3
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| 5 |
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=
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| 1 |
| 4 |
3
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| 5 |
| 1 |
| 2 |
2
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| 5 |
=
| 17 |
| 20 |
∴BE=
| ||
| 10 |
②如图2．作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
2
| ||
| 5 |
∴CD=
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
| ||
| 5 |
∴BC=CD-BD=
| ||
| 5 |
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
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| 1 |
| 2 |
2
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| 5 |
=
| 1 |
| 20 |
∴BE=
| ||
| 10 |
综上可知AC边上的中线长是
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| 10 |
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| 10 |
故答案为
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| 10 |
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点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
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