Question

定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（Ⅰ）如图①，若F₁：y=x²经过变换得到F₂：y=x²+bx，点C坐标为（2，0），求抛物线F₂的解析式；
（Ⅱ）如图②，若F₁：y=ax²+c经过变换后点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（Ⅲ）如图③，若F₁：y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

经过变换满足AC=2

3

，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用y=x²经过变换得到F₂：y=x²+bx，点C坐标为（2，0），直接将C点代入即可求出；
（2）由y=ax²+c经过变换后点B的坐标为（2，c-1），根据A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

，即可表示出△ABD的面积；
（3）求出y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

的顶点坐标与对称轴，从而表示出F₂的解析式，判断出四边形ABCD是菱形，要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，进而求出．

解答：解：（Ⅰ）将点C（2，0）的坐标代入抛物线F₂的解析式，
得b=-2，
∴F₂的解析式为y=x²-2x．

（Ⅱ）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

，
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2．
（Ⅲ）如图③，点C在点A的右侧，
抛物线y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

，配方得y=

1

3

(x-1)2+2，
顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2

3

，
∴点C的坐标为(1+2

3

，2)．
∵F₂过点A，
∴F₂的解析式为y=

1

3

(x -1-

3

)2+1，
设AC与BD交于点N，
∴B（1+

3

，1)，
∴D（1+

3

，3)，
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∵点P在直线AC上，
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=

3

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，故△ABD是等边三角形．
∴h=

3

2

AD=

3

．
∴点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值为

3

．

点评：此题主要考查了二次函数的图形变换与顶点坐标的求法，以及等边三角形的性质等知识，此题是近几年中考中新题型，也是数形结合的典型代表题目．