题目内容

在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0， $数学公式$ ），点C在坐标平面内，以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C的个数为

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

D
分析：本题应该分几种情况讨论，已知的边AB可能是底边，也可能是腰．当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点，两种情况讨论．
解答：

解：（1）当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形，
（2）∵点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0， $\text{[math]}$ ），
∴tan∠ABO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
①若AB=AC，点C在y轴上，则点C可以为（0，- $\text{[math]}$ ）；
若AB=AC，点C在x轴上，则点C为（3，0）；
②过点A作x轴的垂线，如图1：
AB=BC，则C（1，2 $\text{[math]}$ ）；

③过点A作∠OAB的角平分线，过点B作BC∥OA交AC于点C，
则C（-2， $\text{[math]}$ ）；
④如图3，作AB的垂直平分线，
若∠ABC=30°，则点C在y轴上，
∴点C₅（0， $\text{[math]}$ ）；
若∠CAB=30°，
则CA⊥x轴，
∴点C₆（1， $\text{[math]}$ ）；
∴点C为（0，- $\text{[math]}$ ），（3，0），（1，2 $\text{[math]}$ ），（-2，2 $\text{[math]}$ ），（0， $\text{[math]}$ ），（1， $\text{[math]}$ ）．
故选D．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；正确地进行分类，要考虑到所有的可能情况是解题的关键，难度适中．