Question

已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是

2

3

，求这个等腰三角形的腰长．

Answer 1

分析：分底角或顶角的余弦值是

2

3

来求解，①若底角的余弦值是

2

3

，易得AD与AB的关系，进而解可得AB的值，②若顶角的余弦值是

2

3

，设AB=x，通过解三角形可得BC的长，由周长为20，可得2x+

6

3

x=20，解可得x即腰长AB的值．

解答：解：如图，等腰三角形ABC中，周长为20，
①若底角的余弦值是

2

3

，则cosB=

2

3

，
做AD垂直于BC，交BC于点D；
易得AB+BD=

1

2

（AB+AC+BC）=10，且

AD

AB

=

2

3

解可得：腰长AB=6，
②若顶角的余弦值是

2

3

，则cosA=

2

3

，
做BD垂直于AC，交AC于点D，
设AB=x，则AD=

2

3

x，由勾股定理可得BD=

5

3

x，
在Rt△BCD中，CD=x-

2

3

x=

1

3

x，BD=

5

3

x，
解可得：BC=

6

3

x；
又有AB+AC+BC=20，即2x+

6

3

x=20，
解可得x=12-2

6

．
答：腰长为6或12-2

6

．

点评：解题时，注意分情况讨论，通过辅助线构造直角三角形来寻找思路．