Question

如图所示，二次函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图像与x轴分别交于A（-，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C。
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）根据题意，将A（-，0）、B（2，0）代入中得， 解这个方程，得， ∴该抛物线的解析式为 当x=0时，y=1， ∴点C的坐标为（0，1） ∴在Rt△AOC中， 在Rt△BOC中，， ∵ ∴△ABC是直角三角形；
（2）点D的坐标为（，1）；
（3）存在， 由（1）知，AC⊥BC， ①若以BC为底边，则BC∥AP， 如图1所示，可求得直线BC的解析式为， 把A（-，0）代入直线AP的解析式， 求得， ∴直线AP的解析式为 ∵点P既在抛物线上，又在直线AP上 ∴点P的纵坐标相等，即 解得，（舍去） 当时， ∴点P（，-） ②若以AC为底边，则BP∥AC， 如图2所示，可求得直线AC的解析式为y=2x+1， 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b2， 把B（2，0）代入直线BP的解析式， 求得b2=-4， ∴直线BP的解析式为y=2x-4 ∵点P既在抛物线上，又在直线BP上 ∴点P的纵坐标相等 即， 解得（舍去） 当时，y=-9， ∴点P的坐标为（-，-9） 综上所述，满足题目条件的点P为（，-）或（-，-9）。