Question

（2012•甘谷县模拟）如图所示是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：①b²-4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．把正确结论的序号填在横线上

①②④

．

Answer 1

分析：根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a与b的关系式，整理后得到2a+b=0，选项②正确；由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c大于0，故选项③错误；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号．

解答：解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b²-4ac＞0，选项①正确；
当x=1时，y=a+b+c＞0，选项③错误；
∵图象过A点（3，0），对称轴为x=1，
∴另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0），
又-

b

2a

=1，∴2a+b=0，选项②正确；
∴当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，选项④正确，
则正确的序号有①②④．
故答案为：①②④

点评：此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．