Question

如图，△ABC中，∠C=30°，AC=4，BC=4

3

，D为BC的中点，以AC为直径作⊙O．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AB于E，求证：DE与⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）要求D与⊙O的位置关系，需先求OD的长，再与其半径相比较；若大于半径则在圆外，等于半径在圆上，小于半径则在圆内；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．

解答：解：（1）点D在⊙O上．
理由如下：
过O作OF⊥CD于F，连接OD．
在Rt△OCF 中，OC=

1

2

AC=2，∠C=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，CF=

OC2-OF2

=

22-12

=

3，

∵CD=

1

2

BC=2

3

，∴DF=CD-CF=

3

，
在Rt△ODF中，OD=

OF2+DF2

=

12+( 3 )2

=2
∴OD=OC，∴点D在⊙O上．

（2）证明：∵D为BC中点，O为AC中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴⊙O与DE相切．

点评：此题主要考查了点与圆的位置关系及切线的判定．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．