Question

如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD=1，AB=

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．四边形ABCD是正方形吗？说明理由．

Answer 1

分析：四边形ABCD是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明四边形ABCD是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD是正方形．

解答：解：四边形ABCD是正方形．理由：
因为OA=OB=OC=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
OA+OC=OD+OB
所以AC=BD．
所以四边形ABCD是矩形．
因为OA=OB=1，
所以OA²+OB²=2．
所以AB=

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，
所以AB²=2．
所以OA²+OB²=AB²，
所以∠AOB=90°
即：AC⊥BD．
所以矩形ABCD是正方形．

点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．