Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D（1，2）；（3）（）或（﹣）．

【解析】

（1）利用待定系数法求解析式即可得到答案，

（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，利用S△COF：S△CDF＝2：1得到OF：DF＝2：1，利用相似三角形的性质可得答案，

（3）分情况讨论：①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（1，0），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，然后求解的解析式，建立方程组求解即可，

②当点P在x轴下方时，作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，），求解的解析式，建立方程组求解即可．

解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），

∴把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，

解得，

∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）如图1，过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，

∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，

∴C（0，2），

设直线BC解析式为y＝kx+b，

则解得

∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，

∵S△COF：S△CDF＝2：1，

∴OF：DF＝2：1，

∵DH∥OC，

∴△OFC∽△DFH，

∴

∴OC＝2DH，

设D（a，﹣a2+a+2），则H（a，﹣a+2），

∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a，

∴2＝2（﹣a2+2a），

解得a＝1，

∴D（1，2）．

（3）①当点P在x轴上方时，

在y轴上取点G（1，0），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，

则∠OBP＝2∠OBE，

过点G作GH⊥BM，

∵E（0，﹣1），

∴OE＝OG＝GH＝1，

设MH＝x，则MG＝，

在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，

∴（+1）2+4＝（x+2）2，

解得：x＝，（舍去）

故MG＝＝

∴OM＝OG+MG＝

∴点M（0，），

将点B（2，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，

解得： ，

∴直线BM的表达式为：

∴

解得：或x＝2（舍去），

∴点P；

②当点P在x轴下方时，

作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，），

同理可得：

直线BN的解析式为

∴

解得，或x＝2（舍去），

∴点P；

综合以上可得，点P的坐标为或．