题目内容
（2013•燕山区一模）如图（1），两块等腰直角三角板ABC和DEF，∠ABC=∠DEF=90°，点C与EF 在同一条直线l上，将三角板ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α≤90°）得到△A′B′C．设EF=2，BC=1，CE=x．
（1）如图（2），当α=90°，且点C与点F重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，请补全图形，并求证：A′M=DM．
（2）如图（3），当0°＜α＜90°，且点C与点F不重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，求
的值（用含x的代数式表示）．
（1）如图（2），当α=90°，且点C与点F重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，请补全图形，并求证：A′M=DM．
（2）如图（3），当0°＜α＜90°，且点C与点F不重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，求
| A′M | DM |
分析：（1）连结AE，利用△ABC和△DEF是等腰直角三角形证得Rt△MA'E∽Rt△B'FE，利用相似三角形对应边的比相等求得线段A′M的长后即可求得线段DM的长，从而证得A'M=DM；
（2）过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G，证得△A'B'G≌△CB'E，利用全等三角形对应角相等证得A'G∥DE，从而得到
=
=
．
（2）过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G，证得△A'B'G≌△CB'E，利用全等三角形对应角相等证得A'G∥DE，从而得到
| A′M |
| DM |
| A′G |
| DE |
| x |
| 2 |
解答：解：（1）补全图形如右图（1）：
如图（2），连结AE，
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴A′C=AC=
，DF=2
，∠EFB'=90°．
∴A′D=DF-A′C=
，
∴点A'为DF的中点．
∴EA'⊥DF，EA'平分∠DEF．
∴∠MA'E=90°，∠A'EF=45°，A′E=
．
∵∠MEB'=∠A'EF=45°，
∴∠MEA'=∠B'EF，
∴Rt△MA'E∽Rt△B'FE，
∴
=
，
∴A′M=
，
∴DM=A′D-A′M=
-
=
，
∴A'M=DM．
（2）如图（3），过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G．
∵∠EB'G=90°，∠B'EM=45°，
∴∠B'GE=45°．
∴B'E=B'G．
∵∠A'B'C=∠EB'G=90°，
∴∠A'B'G=∠CB'E．
在△A'B'G和△CB'E中
．
∴△A'B'G≌△CB'E（SAS）．
∴A'G=CE=x，∠A'GB'=∠CEB'．
∵∠A'GB'+∠A'GM=∠CEB'+∠DEM=45°，
∴∠A'GM=∠DEM，
∴A'G∥DE．
∴
=
=
．
如图（2），连结AE，
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴A′C=AC=
| 2 |
| 2 |
∴A′D=DF-A′C=
| 2 |
∴点A'为DF的中点．
∴EA'⊥DF，EA'平分∠DEF．
∴∠MA'E=90°，∠A'EF=45°，A′E=
| 2 |
∵∠MEB'=∠A'EF=45°，
∴∠MEA'=∠B'EF，
∴Rt△MA'E∽Rt△B'FE，
∴
| A′M |
| B′F |
| A′E |
| EF |
∴A′M=
| ||
| 2 |
∴DM=A′D-A′M=
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴A'M=DM．
（2）如图（3），过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G．
∵∠EB'G=90°，∠B'EM=45°，
∴∠B'GE=45°．
∴B'E=B'G．
∵∠A'B'C=∠EB'G=90°，
∴∠A'B'G=∠CB'E．
在△A'B'G和△CB'E中
|
∴△A'B'G≌△CB'E（SAS）．
∴A'G=CE=x，∠A'GB'=∠CEB'．
∵∠A'GB'+∠A'GM=∠CEB'+∠DEM=45°，
∴∠A'GM=∠DEM，
∴A'G∥DE．
∴
| A′M |
| DM |
| A′G |
| DE |
| x |
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
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