Question

在平面直角坐标系中，过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（3，6）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在双曲线y=

k

x

（k为常数）上，求a，k的值．

Answer 1

分析：（1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断；
（2）根据和谐点的定义用a表示出矩形的周长与面积，然后求解即可．

解答：解：（1）∵点M（3，6），
∴矩形OAPB的周长=2（3+6）=18，
面积=3×6=18，
∵18=18，
∴则点P是和谐点；

（2）∵点P（a，3），
∴矩形OAPB的周长=2（a+3），
面积=3a，
∵点P是和谐点．
∴2（a+3）=3a，
解得a=6，
所以，点P（6，3），
∵点P在双曲线y=

k

x

上，
∴

k

6

=3，
解得k=18．

点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．