Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；　　　　　　　　　　　
（2）如果AD²=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∵BE=AB，
∴DC=BE．
又∵DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形；

（2）∵AD²=AB•AF，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠ADB=∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠CDF=∠DFA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB=∠DBC．
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴CE∥DB，
∴∠MCN=∠DBC，
∴∠MCN=∠CDF．
又∵∠CMN=∠DMC，
∴△CMN∽△CMD，
∴，
∵DC=AB，
∴，
∴CM•AB=DM•CN．
分析：（1）根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）通过相似三角形△ADB∽△AFD的对应角相等知∠ADB=∠DFA，然后由?ABCD、?DBEC的性质以及等量代换证得△CMN∽△CMD，则该对相似三角形的对应边成比例，即，又因为DC=AB，所以，即CM•AB=DM•CN．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．