Question

如图，抛物线y=-x²+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线y=-x²+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，分别将x=0，y=0代入求得A、B、C的坐标；
（2）由（1）得到边AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理来判定△ABC为直角三角形；
（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+x+2与x轴交于A、B两点，
∴-x²+x+2=0．即x²-x-4=0．
解之得：x₁=-，x₂=2．
∴点A、B的坐标为A（-，0）、B（2，0）．（2分）
将x=0代入y=-x²+x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分）

（2）∵AC=，BC=2，AB=3，
∴AB²=AC²+BC²，则∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2）
设y=2，把y=2代入y=-x²+x+2得：-x²+x+2=2，
∴x₁=0，x₂=．
∴P点坐标为（，2）．（8分）
点评：此题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点．