题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．
（1）试证：∠CBD=∠A；
（2）若cosA= $数学公式$ ，BD=2 $数学公式$ ，试计算⊙O的面积．

解：（1）证明：连OD，如图，

∴∠A=∠ADO，
∵直线BD与⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）连DE，cosA=cos∠CBD= $\text{[math]}$ ，
在Rt△DCB，cosA= $\text{[math]}$ ，BD=2 $\text{[math]}$ ，
∴cos∠CBD= $\text{[math]}$ ，
∴BC= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =4，
∴DC= $\text{[math]}$ =2，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，
∴cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD=2r• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ r，
∴DE= $\text{[math]}$ r，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AC，即 $\text{[math]}$ r：4= $\text{[math]}$ r：（ $\text{[math]}$ r+2），
∴r= $\text{[math]}$ ，
∴⊙O的面积=π•（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ π．
分析：（1）连OD，根据切线的性质得OD⊥BD，则∠ADO+∠BDC=90°，而∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠ADO，易得∠CBD=∠A；
（2）连DE，在Rt△DCB，由cosA= $\text{[math]}$ ，BD=2 $\text{[math]}$ ，根据三角函数的定义得BC= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =4，再利用勾股定理得DC=2，在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，得AD=2r• $\text{[math]}$ ，DE= $\text{[math]}$ r，根据DE∥BC得DE：BC=AD：AC，得到关于r的方程 $\text{[math]}$ r：4= $\text{[math]}$ r：（ $\text{[math]}$ r+2），解方程求出r，然后根据圆的面积公式计算即可．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理得推理以及三角形相似的判定与性质．