Question

如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，猜想：此时与∠DAC相等的角是哪一个？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接BC，OC，由半径OC=OA，根据等边对等角可得出一对角相等，再由OC与AD都与EF垂直，得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等可得一对内错角相等，等量代换可得出∠DAC=∠BAC，得证；
（2）∠BAG=∠CAD，理由如下：连接BC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠BCA为直角，即三角形ABC为直角三角形，根据直角三角形中的两个锐角互余可得出一对角互余，由AD垂直于EF，可得出三角形AGD为直角三角形，同理得到一对锐角互余，再由同弧所对的圆周角相等可得出∠B与∠AGD相等，进而确定出∠BAG=∠GAD，等式两边都减去∠CAG即可得到∠BAC=∠GAD，得证．

解答：
解：（1）连接OC，如图①所示，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠BAC；                          
（2）∠BAG=∠DAC，理由如下：
连接BC，如图②所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵AD⊥EF，∴∠ADG=90°，
∴∠AGD+∠GAD=90°，
又

AC

=

AC

，∴∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD，
∴∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，即∠BAG=∠DAC．

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，利用了等量代换及转化的思想，连接出相应的辅助线，灵活运用性质及定理是解本题的关键．