Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连结BC。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径。

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图1。
∵ OA=OB，∠OAB=45°，
∴ ∠1=∠OAB=45°
∵ AO∥DB，
∴∠2 =∠OAB=45°
∴ ∠1 +∠2=90°
∴ BD⊥OB于B
∴ 又点B在⊙O上
∴ CD是⊙O的切线。

（2）解：作OE⊥AC于点E。
∵OE⊥AC，AC=，
∴AE==
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC -∠OAB=30°
∴ 在Rt△OAE中，

解法二：如图2，
延长AO与⊙O交于点F，连结FC。
∴ ∠ACF =90°
在Rt△ACF中

∴AO==4。