Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，点E在AD边上，将纸片沿BE折叠，使点A落在CD边上的F处．下列结论中：
①DE=；②tan∠EBF=；③四边形ABFE的面积是矩形ABCD的面积的一半；④若在折痕BE上有点Q，使得△BFQ为等腰三角形，则EQ必然为；⑤若在折痕BE上有点P到边CD的距离与到点A的距离相等，则此相等距离为1.8．以上结论一定正确的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

【答案】分析：首先计算出CF的长，再在△DEF中用勾股定理即可算出DE的长，进而判断出①的正误；根据①中计算的DE的长，可以表示出EF和AE的长，进而可以表示出tan∠EBF，可判断出②的正误；根据前面计算的AE长，计算出四边形ABFE的面积，再计算出矩形ABCD的面积，可判断出③的正误；在折痕BE上有点Q，使得△BFQ为等腰三角形可有两种情况，一种情况一定错误；再由翻折变换的性质得出F、A′重合，分别延长BE，DC相交于点G，由平行线的性质可得出GA′=BA′=AB=5，再根据相似三角形的判定定理得出△BCG∽△PA′G，求出其相似比，进而可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=5，AD=BC=3，
根据折叠可得BF=AB=5，
在Rt△BFC中：FC===4，
则DF=5-4=1，
设DE=x，则AE=EF=3-x，
1²+x²=（3-x）²，
解得：x=，故①正确；

∵ED=，AD=3，
∴AD=EF=3-=，
tan∠EBF===，故②正确；

根据折叠可得四边形ABFE的面积=2S_△ABE=2××AB×AE=2××5×=，
是矩形ABCD的面积=3×5=15，
故③错误；

在折痕BE上有点Q，使得△BFQ为等腰三角形可有两种情况：
一种是BF=BQ，另一种是QF=QB，
故④错误；

如图所示，设PF⊥CD，
∵AP=FP，
由翻折变换的性质可得AP=A′P，
∴FP=A′P，
∴FP⊥CD，
∴A′，F，P三点构不成三角形，
∴F，A′重合分别延长BE，DC相交于点G，
∵AB平行于CD，
∴∠ABG=∠BGC，
∵∠ABG=∠A′BG，BGD=∠A′BG，
∴GA′=BA′=AB=5，
∵PA′（PF）⊥CD，
∴PA′∥BC，
∴△BCG∽△PA′G，
∵Rt△BCA′中，BA′=5，BC=3，
∴CA′=4，CG=CA′+A′G=3+5=9，
∴△BCG与△PA′G的相似比为9：5，
∴BC：PA′=9：5，
∵BC=3，
∴PA′=，即相等距离为，故⑤错误．
故正确的有2个．
故选：A．
点评：本题考查了图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．