Question

如图所示，D、E、F是△ABC三边的中点，下列结论：①四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形；②△ABC∽△DEF；③S_△ABC=2S_△DEF；④△DEF的周长是△ABC周长的一半，其中正确的序号是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

A
分析：根据EF∥BC，DE∥AB即可求得四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形，可求得△DEF∽△ABC，根据中位线定理和中点的定义即可求得④成立，即可解题．
解答：∵D、E、F是△ABC三边的中点，∴DE=AB，DF=AC，EF=BC，DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC．
①∵DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，∴四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形；
②∵四边形BDEF，CDFE都是平行四边形，∴∠B=∠DEF，∠C=∠DFE，∴△DEF∽△ABC；
③∵AB=2AF，AC=2AE，∴△ABC的面积=AB•AC•sinA，△AEF的面积=AF•AE•sinA，∴△ABC的面积是△AEF的面积的4倍；
④AC=2AE，AB=2AF，BC=2EF，∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，
故①②④正确，
故选 A．
点评：本题考查了平行四边形的判定，考查了平行四边形对角相等的性质，考查了三角形面积的计算，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中找出①②③④中正确的命题是解题的关键．