Question

如图，抛物线y=-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²（m＞0）与x轴相交于A、B两点，点H是抛物线的顶点，以AB为直径作⊙G交y轴于E、F两点，EF=4

2

．
（1）求m的值和⊙G的半径R；
（2）连接AH，求线段AH的长度；
（3）问：射线GH上是否存在一点P，使以点P为圆心作圆，能与直线AH和⊙G同时相切？若存在，求点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接GE，在Rt△GEO中，将GE、GO和EO的长用m表示出来，再由勾股定理得GE²=GO²+EO²即可求解．
（2）根据抛物线的解析式，可以得出H点的坐标，继而得出AH的长；
（3）假设存在这样的点，再直线AH和⊙G同时相的条件进行求解即可．

解答：解：（1）-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），（2分）
∴AB=3m，⊙G的半径R=

3

2

m，
∴OB=m，BG=

3

2

m，
∴OG=

1

2

m，
∴G（-

m

2

，0），
∵EF⊥x轴，AB为直径，EF=4

2

，
∴EO=2

2

，（1分）
连接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理得GE²=GO²+EO²
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，R=3．（2分）

（2）∵m=2，
∴y=-

4

9

x2-

8

9

x+

32

9

，
∴H（-1，4）
又∵A（-4，0），
∴AH=

(-1+4)2+42

=5．（2分）

（3）设⊙P的半径为R'，P点的坐标为（-1，k），
由题意可知，当k＞4时，不符合题意，
所以0＜k＜4．
因为⊙P与直线AH相切，过点P作PM⊥AH，垂足为点M，PM=r_P
∴HP=4-k，R'=HP•sin∠AHG=

3(4-k)

5

，（1分）
①当⊙P与⊙G内切时，3-R'=k，
∴3-

3(4-k)

5

=k，解得k=

3

2

，
∴P(-1，

3

2

)（2分）
②当⊙P与⊙G外切，3+R'=k
∴3+

3(4-k)

5

=k，解得k=

27

8

，
∴P(-1，

27

8

)（2所以满足条件的P点有：P(-1，

3

2

)，P(-1，

27

8

)．分）

点评：本题考查了二次函数的知识，难度较大，基于二次函数的综合题是中考中常见的问题，要注意各部分知识的综合利用，对这类综合题要善于总结其思路与方法．