Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为直线AB与x轴，y轴分别交于A（4，0），B（0，8）两点，所以可设y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求出答案；
（2）分①当∠EDF=90°时，点E与点C重合；②当∠DFE=90°时，FD=FE；③当∠DEF=90°时，ED=EF；三种情况讨论可得使得△DEF为等腰直角三角形时，点E及对应的点F的坐标．

解答：解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得

4k+b=0 b=8

，
解得k=-2，b=8．
所以直线AB的解析为：y=-2x+8；

（2）①当∠EDF=90°时，点E与点C重合，E₁（3，2），
FD=CD=3，
∴F₁（0，5）或F₂（0，-1），
②当∠DFE=90°时，FD=FE，
令F（0，m），则E(

8-m

2

，m)
FD=|2-m|，FE=|

8-m

2

|
∵FD=FE
∴|2-m|=|

8-m

2

|
解得m=4或m=-4
∴E₂（2，4），F₃（0，4）；
E₃（6，-4），F₄（0，-4）．
③当∠DEF=90°时，ED=EF，
由②可得E₂（2，4）时，F₅（0，6），
E₃（6，-4）时，F₆（0，-10），
综上，当E₁（3，2），F₁（0，5）或F₂（0，-1）；
E₂（2，4），F₃（0，4），F₅（0，6）；
E₃（6，-4），F₄（0，-4），F₆（0，-10）时，△DEF为等腰直角三角形．

点评：本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和等腰直角三角形的有关知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．