Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

求证：（1）△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长.

Answer 1

（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证；（2）

解析试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，CD=AB=4，再根据勾股定理可求得DE的长，再由△ADF∽△DEC根据相似三角形的性质求解即可.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD   
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=4
又∵AE⊥BC       
∴AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴      
∴，解得AF=.
考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.