Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E分别在线段BC、AC上运动，并保持∠ADE=45°
（1）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）当时，求DE的长．

Answer 1

解：（1）①当AE=AD时，△ADE是等腰三角形，
此时，点E、D分别与点C、B重合，
∴AE=AC=2；
②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时，∠EAD=∠ADE=45°，由题设知，此时点D、E分别为BC、AC的中点，
∴AE=AC=1；
③当AD=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时由题设知∠B=∠C=45°，
∵AB=AC=2，BC=，
而∠BAD+∠B=∠ADC=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2，CE=BD=BC-DC=，
∴AE=AC-CE=．

（2）取BC的中点M，连接AM，
易求得AM=，BM=，∠AMB=90°，
∵BD=，
∴DM=BM-BD=-=，
DC=BC-BD=2-=，
∴在Rt△AMD中，AD==，
由（1）的第三种情况已证∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴DE=×AD=××=．
分析：（1）分三种情况，讨论解答：①当AE=AD时，②当AE=DE时，③当AD=DE时；①②易求得，③通过证明△ABD≌△DCE，得AB=DC，BD=CE，即可求出；
（2）如图，通过证明△ABD∽△DCE，可得到，即DE=×AD，在Rt△AMD中，可通过勾股定理，求得DC的长，即可解答出；
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，本题根据题意，确定动点D、E的位置，是解答的关键．